Gần đúng WKB cho lý thuyết Gamow của phân rã alpha

Đầu tiên, ta cần tìm hiểu gần đúng WKB (Wentzel–Kramers–Brillouin) là gì?

Phương trình Schrödinger $$\begin{align} -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi &= E\psi \\ \dfrac{d^2\psi}{dx^2} &=-\dfrac{2m[E-V(x)]}{\hbar^2}\psi \end{align}$$ Gọi $$\begin{equation} p(x) \equiv \sqrt{2m[E-V(x)]} \end{equation}$$ là động lượng (cổ điển) của một hạt có năng lượng $E$ trong thế năng $V(x)$. Phương trình Schrödinger trở thành $$\begin{equation} \dfrac{d^2\psi}{dx^2} =-\dfrac{p^2}{\hbar^2}\psi \end{equation}$$ Giả sử $E>V(x)$ (vùng cổ điển) khi đó $p(x)$ thực. Hạt bị nhốt trong hố thế. Một cách tổng quát, $\psi$ là hàm phức và ta có thể biểu diễn nó dưới dạng biên độ $A(x)$ và pha $\phi(x)$ $$\begin{align} \psi(x) = A(x)e^{i\phi(x)} \end{align}$$ Thay vào phương trình Schrödinger $$\begin{align} A''+2iA'\phi'+iA\phi''-A(\phi ')^2 = -\dfrac{p^2}{\hbar^2}A \end{align}$$ Ta tách làm 2 phương trình cho phần thực và ảo $$\begin{align} A''-A(\phi ')^2 &= -\dfrac{p^2}{\hbar^2}A \Rightarrow A'' = A\left[(\phi')^2-\dfrac{p^2}{\hbar^2} \right] \\ 2A'\phi'+A\phi'' &=0 \Rightarrow (A^2\phi')' =0 \end{align}$$ Phương trình thứ nhất dễ dàng tìm được nghiệm $$\begin{equation} A=\dfrac{C}{\sqrt{\phi '}} \end{equation}$$ với $C$ là hằng số thực. Phương trình thứ hai được giải gần đúng. Ta xem biên độ $A$ biến đổi chậm, do đó $A''\approx 0$ hay $A''/A \approx 0$. Khi đó, phương trình thứ hai trở thành $$\begin{equation} (\phi')^2 = \dfrac{p^2}{\hbar^2} \Rightarrow \dfrac{d\phi}{dx} = \pm \dfrac{p}{\hbar} \Rightarrow \phi(x) = \pm \dfrac{1}{\hbar}\int p(x)\,dx \end{equation}$$ Như vậy hàm sóng trong vùng cổ điển cần tìm là $$\begin{align} \psi(x) \approx \dfrac{C}{\sqrt{p(x)}} \exp\left[\pm \dfrac{i}{\hbar}\int p(x)\,dx \right] \end{align}$$ Bình phương khả tích hàm sóng $$\begin{align} |\psi(x)|^2 \approx \dfrac{|C|^2}{p(x)} \propto \dfrac{1}{p(x)} \end{align}$$ Xác suất tìm thấy hạt tỉ lệ nghịch với động lượng (cổ điển) của hạt tại điểm đó. Trong vùng không cổ điển ($E \leq V$), kết quả cũng tương tự như vùng cổ điển, chỉ khác là $p(x)$ lúc này là ảo $$\begin{align} \psi(x) \approx \dfrac{C}{\sqrt{|p(x)}|} \exp\left[\pm \dfrac{1}{\hbar}\int p(x)\,dx \right] \end{align}$$ Lúc này xảy ra hiện tượng xuyên hàm. Tại các vị trí biên hàm sóng cần được đảm bảo tính liên tục và đạo hàm liên tục.
Ví dụ trường hợp tán xạ hàng rào thế chữ nhật. Ta đã biết hàm sóng bên trái ($x \leq 0$) có dạng $$\begin{align} \psi(x) = Ae^{ikx}+Be^{-ikx} \end{align}$$ với $A$ là biên độ tới, $B$ là biên độ phản xạ, $k=\sqrt{2mE}/\hbar$.
Trong khi sóng bên phải ($x>a$) có dạng $$\begin{equation} \psi(x) = Fe^{ikx} \end{equation}$$ với $F$ là biên độ truyền qua, xác suất truyền qua là $$\begin{equation} T = \dfrac{|F|^2}{|A|^2} \end{equation}$$ Trong vùng xuyên hầm (lượng tử) ($0\leq x \leq a$), gần đúng WKB $$\begin{align} \psi(x) \approx \dfrac{C}{\sqrt{|p(x)}|} \exp\left[ \dfrac{1}{\hbar}\int_0^x |p(x')|\,dx' \right] + \dfrac{D}{\sqrt{|p(x)}|} \exp\left[-\dfrac{1}{\hbar}\int_0^x |p(x')|\,dx' \right] \end{align}$$ Nếu hàng rào thế rất cao và rộng thì số hạng $C$ xem như về giá trị 0. Hệ số truyền qua khi đó được gần đúng $$\begin{align} \dfrac{|F|}{|A|} \sim \exp\left[-\dfrac{1}{\hbar}\int_0^a |p(x')|\,dx' \right] \end{align}$$ hay $$\begin{equation} T \approx e^{-2\gamma} \end{equation}$$ với $$\begin{equation} \gamma = \dfrac{1}{\hbar}\int_0^a |p(x)|\,dx = \dfrac{2m}{\hbar}\int_0^a [V(x)-E]\,dx \end{equation}$$ Năm 1928, George Gamow (ngoài ra còn có Condon và Gurney cũng tìm ra độc lập) đã sử dụng phương trình $T$ ở trên để đưa ra giải thích cho phân rã alpha ($\alpha$) (sự phát ra các hạt $\alpha$). Do hạt $\alpha$ có điện tích dương ($2e$), nó sẽ bị đẩy ra xa hạt nhân (điện tích $Ze$) đủ xa để thoát ra khỏi lực hạt nhân. Trong trường hợp uranium, hàng rào thế năng gấp hai lần năng lượng hạt $\alpha$ phát ra. Gamow đã gần đúng thế năng như một hố thế vuông hữu hạn (đặc trưng cho lực hút hạt nhân), mở rộng đến $r_1$ (bán kính hạt nhân), được nối với đuôi lực đẩy Coulomb, lúc này cơ chế đẩy được xem như hiện tượng xuyên hầm trong cơ học lượng tử. 

Mô hình Gamow cho thế năng của hạt alpha trong hạt nhân phóng xạ

Nếu $E$ là năng lượng của hạt $\alpha$ phát ra, điểm quay lại (turning point) bên ngoài $r_2$ được xác định bởi $$\begin{equation} \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2Ze^2}{r_2}=E \end{equation}$$ Số mũ $\gamma$ là $$\begin{align} \gamma = \dfrac{1}{\hbar}\int_{r_1}^{r_2} \sqrt{2m\left(\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2Ze^2}{r}-E\right)}\,dr = \dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\int_{r_1}^{r_2} \sqrt{\dfrac{r_2}{r}-1}\,dr \end{align}$$ Tích phân có thể tính bằng phép đổi biến ($r=r_2\sin^2u$) và kết quả thu được là $$\begin{align} \gamma = \dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\left[r_2\left(\dfrac{\pi}{2} -\sin^{-1}\sqrt{\dfrac{r_1}{r_2}}\right)-\sqrt{r_1(r_2-r_1)}\right] \end{align}$$ Thông thường $r_1 \ll r_2$, ta có thể đơn giản kết quả trên bằng gần đúng $$\begin{align} \gamma \approx \dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \left[\dfrac{\pi}{2}r_2 - 2\sqrt{r_1 r_2} \right] = K_1 \dfrac{Z}{\sqrt{E}} - K_2 \sqrt{Zr_1} \end{align}$$ trong đó $$\begin{align} K_1 = \left( \dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \right)\dfrac{\pi\sqrt{2m}}{\hbar} = 1.980~{\rm MeV}^{1/2} \end{align}$$ và $$\begin{align} K_2 = \left( \dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \right)^{1/2}\dfrac{4\sqrt{m}}{\hbar} = 1.485~{\rm fm}^{-1/2} \end{align}$$ Hãy tưởng tượng một hạt $\alpha$ dao động bên trong hạt nhân với vận tốc trung bình $v$ thì thời gian trung bình giữa các "va chạm" với "tường" khoảng $2r_1/v$, do đó tần số va chạm là $v/2r_1$. Xác suất thoát tại mỗi va chạm là $e^{-2\gamma}$, do đó xác suất phát trong một đơn vị thời gian là $(v/2r_1)e^{-2\gamma}$, do đó thời gian sống của hạt nhân mẹ vào khoảng $$\begin{align} \tau = \dfrac{2r_1}{v}e^{2\gamma} \end{align}$$ Ta không biết được $v$ nhưng với các hạt nhân nặng sự biến thiên theo $v$ là không đáng kể. Ta có một bức tranh đẹp liên quan giữa năng lượng $E$ và $\log \tau_{1/2}$

Đồ thị logarithm thời gian sống với $1/\sqrt{E}$ (trong đó $E$ là năng lượng của hạt alpha phát ra), cho uranium và thorium.

Năng lượng của hạt $\alpha$ phát ra có thể được tính bằng công thức Einstein $$\begin{align} E = (m_p - m_d - m_{\alpha})c^2 \end{align}$$ trong đó $m_p$ là khối lượng hạt nhân mẹ, $m_d$ là khối lượng hạt nhân con và $m_\alpha$ là khối lượng hạt $\alpha$.